Dacă Universul ar fi infinit atunci, cu mult timp în urmă, într-o galaxie foarte îndepărtată, ar fi existat o planetă pe care locuiau oameni; unii vorbeau limba română și toți aveau doar patru degete la fiecare mână. S-ar fi descurcat și cu patru, poate chiar mai bine decât noi. Să vedem de ce...
Numerele
În loc să învețe la început să numere până la zece ca noi, ei s-ar fi oprit la opt. Copiii ar fi spus unu, doi, trei, patru, cinci, șase, șapte, opt. Nouă și zece nu ar fi existat; nu ar avea de ce. Ați putea spune că în engleză avem eleven și twelve deși avem doar zece degete la cele două mâini; nu este important; important e că urmează thirteen; practic, eleven și twelve doar înlocuiesc numere care ar fi sunat ceva de genul oneteen și twoteen.
Deci, ce ar urma după opt? La noi după zece urmează unsprezece. Acolo, ar fi urmat unspreopt. Apoi doispreopt, treispreopt și așa mai departe, până la șaptespreopt.
La noi, după nouăsprezece urmează douăzeci; acolo, ar fi urmat ceva de genul douăopturi. Sau douăopți? Să mergem pe prima variantă.
În continuare, numărătoarea ar fi continuat cu douăopturi și unu, douăopturi și doi și tot așa până la douăopturi și șapte, după care ar fi urmat treiopturi.
Am avea apoi patruopturi, cinciopturi, șaseopturi (șaiopturi parcă sună cam ciudat) și șapteopturi. Putem continua până la șapteopturi și șapte după care trebuie să urmeze ceva nou.
La noi după nouăzeci și nouă urmează o sută, cuvânt nou, fără nicio legătură cu cele care desemnează numerele anterioare. Nu urmează zecezeci; deci, nu ar fi existat optopturi.
Avem și cuvinte pentru mie, milion sau miliard.
Oamenii cu patru degete ar fi trebuit să aibă un cuvânt nou pentru numărul care urmează după șapteopturi și șapte. Nu mai putem specula care ar fi. Vom inventa unul... să zicem o ginfă. Am avea numere de genul o ginfă unu, o ginfă șapte, o ginfă opt, o ginfă unspreopt, o ginfă douăopturi, o ginfă douăopturi și cinci sau o ginfă șapteopturi și șapte.
Am continua cu două ginfe, trei ginfe, până la șapte ginfe. Se poate număra astfel până la șapte ginfe șapteopturi și șapte, după care avem nevoie de un nou număr. Din nou, inventăm unul: o derbă.
Acum putem număra până la șapte ginfe șapteopturi și șapte de derbe șapte ginfe șapteopturi și șapte. Ne oprim aici...
Cifrele
S-ar fi inventat și cifrele; nu ar fi fost nevoie decât de opt. Nu avem niciun motiv să credem că acestea nu ar fi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 și 7. Este destul de clar că numărul opt va fi scris 10, unspreopt va fi scris 11 și așa mai departe. Să vedem cum s-ar scrie diverse numere...
|
|
|
Adunarea
Dacă avem numere, trebuie să le putem și aduna. Pentru numere mici e ca la noi, atâta timp cât suma nu trece de opt. Doi plus doi e tot patru, patru plus patru e opt, dar patru plus cinci e unspreopt. Tabla adunării ar fi cam așa:
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 5 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 6 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 7 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| 10 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
Numerele mai mari s-ar aduna cam la fel ca la noi. De exemplu, să adunăm 2457 cu 7542. Adunarea ar arăta cam așa:
|
1 2 3 4 |
2457 + 7542 ===== 12221 |
Începem de la sfârșit; adunăm șapte cu doi și obținem unspreopt; scriem unu și ținem minte unu. Adunăm în continuare cinci cu patru; obținem unspreopt; adăugăm unu din minte și avem doispreopt; scriem doi și ținem minte unu. Continuăm adunând patru cu cinci; avem din nou unspreopt la care adăugăm unu din minte și obținem doispreopt; scriem doi și ținem minte unu. Am ajuns la prima cifră; adunăm doi cu șapte; obținem unspreopt la care adăugăm din minte unu și avem doispreopt pe care îl scriem. Am scris 12221, adică doispreopt derbe două ginfe douăopturi și unu.
Scăderea este asemănătoare.
Înmulțirea
Următorul pas este să înmulțim numerele. Și aici la început e simplu; doi ori doi e patru, doi ori patru e opt, dar apoi lucrurile se complică. De exemplu, trei ori trei e unspreopt, patru ori cinci e douăopturi și patru, iar opt ori opt e o ginfă. Avem și tabla înmulțirii:
| * | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 10 | 12 | 14 | 16 | 20 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 11 | 14 | 17 | 22 | 25 | 30 |
| 4 | 0 | 4 | 10 | 14 | 20 | 24 | 30 | 34 | 40 |
| 5 | 0 | 5 | 12 | 17 | 24 | 31 | 36 | 43 | 50 |
| 6 | 0 | 6 | 14 | 22 | 30 | 36 | 44 | 52 | 60 |
| 7 | 0 | 7 | 16 | 25 | 34 | 43 | 52 | 61 | 70 |
| 10 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 100 |
Înmulțirea numerelor mai mari s-ar face și ea cam ca la noi:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
2457 * 7542 ======== 5136 12274 14753 22111 ======== 23736376 |
Ar fi cam mult să explicăm pas cu pas ce se întâmplă. Să vedem doar prima linie a calculului. Începem înmulțind doi cu șapte; rezultatul este șaispreopt; scriem șase și ținem minte unu. Înmulțim acum doi cu cinci și avem doispreopt; adunăm unu din minte și obținem treispreopt; scriem trei și ținem minte unu. Continuăm înmulțind doi cu patru; rezultatul este opt și adunăm unu din minte, obținând unspreopt; scriem unu și ținem minte unu. În sfârșit, înmulțim doi cu doi; avem patru și adunând unu din minte obținem cinci, pe care îl scriem. Avem astfel pe prima linie 5136 (cinci derbe o ginfă treiopturi și șase).
Vom avea patru linii cu rezultatele înmulțirii primului număr cu câte o cifră a celui de-al doilea, fiecare linie fiind deplasată spre stânga cu o poziție față de cea anterioară. La final adunăm cele patru linii. Ultima cifră este șase. Pentru penultima adunăm trei și patru și obținem șapte. Urmează o adunare între unu, șapte și trei; rezultatul este treispreopt; scriem trei și ținem minte unu. Următoarea adunare este între cinci, doi, cinci și unu; rezultatul este cincispreopt la care se adaugă unu din minte, deci avem șaispreopt; scriem șase și ținem minte unu. Continuăm în același mod până opținem rezultatul 23736376 pe care nu îl scriem în cuvinte fiindcă nu am inventat o denumire pentru numărul care urmează după 777777.
De ce e mai bine cu patru degete?
Noi folosim așa numita bază zece (avem zece cifre). Pe planeta (imaginară?) din cadrul acestui articol se folosește baza opt. Calculatoarele au un singur deget la fiecare mână. Deci ele cunosc doar două cifre: zero și unu. Ele folosesc baza doi.
Numărul doi, s-ar scrie 10, ar urma un fel de unspredoi, care s-ar scrie 11. Am avea nevoie acum de o denumire inventată pentru 100. Ar urma apoi 101, 110 și 111.
Observăm că 10-le calculatorului este 3 la noi și la cei cu patru degete; 11-le calculatorului este 3, 100-le este 4, 101-le este 5, 110-le este 6 și 111-le este 7. La calculatoare urmează 1000; la noi urmează 8, dar la cei cu patru degete urmează 10. Varianta lor seamănă mai mult cu cea a calculatorului, nu?
Continuând puțin, vedem că este evident că numerele celor cu patru degete seamănă mai mult cu cele ale calculatoarelor decât numerele noastre.
| Baza 2 | Baza 8 | Baza 10 | Baza 2 | Baza 8 | Baza 10 | Baza 2 | Baza 8 | Baza 10 |
| 0 | 0 | 0 | 10110 | 26 | 22 | 101100 | 54 | 44 |
| 1 | 1 | 1 | 10111 | 27 | 23 | 101101 | 55 | 45 |
| 10 | 2 | 2 | 11000 | 30 | 24 | 101110 | 56 | 46 |
| 11 | 3 | 3 | 11001 | 31 | 25 | 101111 | 57 | 47 |
| 100 | 4 | 4 | 11010 | 32 | 26 | 110000 | 60 | 48 |
| 101 | 5 | 5 | 11011 | 33 | 27 | 110001 | 61 | 49 |
| 110 | 6 | 6 | 11100 | 34 | 28 | 110010 | 62 | 50 |
| 111 | 7 | 7 | 11101 | 35 | 29 | 110011 | 63 | 51 |
| 1000 | 10 | 8 | 11110 | 36 | 30 | 110100 | 64 | 52 |
| 1001 | 11 | 9 | 11111 | 37 | 31 | 110101 | 65 | 53 |
| 1010 | 12 | 10 | 100000 | 40 | 32 | 110110 | 66 | 54 |
| 1011 | 13 | 11 | 100001 | 41 | 33 | 110111 | 67 | 55 |
| 1100 | 14 | 12 | 100010 | 42 | 34 | 111000 | 70 | 56 |
| 1101 | 15 | 13 | 100011 | 43 | 35 | 111001 | 71 | 57 |
| 1110 | 16 | 14 | 100100 | 44 | 36 | 111010 | 72 | 58 |
| 1111 | 17 | 15 | 100101 | 45 | 37 | 111011 | 73 | 59 |
| 10000 | 20 | 16 | 100110 | 46 | 38 | 111100 | 74 | 60 |
| 10001 | 21 | 17 | 100111 | 47 | 39 | 111101 | 75 | 61 |
| 10010 | 22 | 18 | 101000 | 50 | 40 | 111110 | 76 | 62 |
| 10011 | 23 | 19 | 101001 | 51 | 41 | 111111 | 77 | 63 |
| 10100 | 24 | 20 | 101010 | 52 | 42 | 1000000 | 100 | 64 |
| 10101 | 25 | 21 | 101011 | 53 | 43 | 1000001 | 101 | 65 |
Dacă ne uităm la numerele cu două cifre din baza opt, observăm că în baza doi le corespunde un număr obținut prin "tranformarea" fiecărei cifre din baza opt în trei cifre în baza doi. Dacă în baza doi nu avem decât o cifră sau două adăugăm zerouri în față. Să vedem câteva exemple.
Avem numărul 15 în baza opt. Cele două cifre sunt 1 și 5. Acestora le corespund numerele 1 și 101 în baza doi. Dacă ne uităm în tabel la linia corespunzătoare, vedem că lui 15 îi corespunde 1101, număr obținut prin alăturarea numerelor 1 și 101.
Să vedem acum numărul 43. Cifrele sunt 4 și 3, iar numerelor corespunzătoare în baza doi sunt 100 și 11. Prin alăturarea lor obținem 10011, dar nu este corect. În tabel observăm că valoarea ar trebui să fie 100011. Greșeala noastră a fost că nu ne-am asigurat că cifrei 3 îi corespunde un grup de trei cifre în baza doi. Dacă adăugăm în față un zero, grupurile sunt 100 și 011 și prin alăturarea lor obținem 100011.
Considerăm un ultim exemplu: numărul 30. Cifrele sunt 3 și 0, iar numerele corespunzătoare sunt 11 și 0. Ne asigurăm că avem grupuri de trei cifre: 011 și 000 și prin alăturarea lor obținem 011000; putem elimina zeroul din față fiindcă acesta este nesemnificativ în orice bază. Rezultatul final este 11000, cel corect.
Uitându-ne și la ultimele două numere din tabel, observăm că am transformat fiecare cifră din baza opt în baza doi. De fapt, regula se aplică pentru orice număr. Pentru a transforma un număr din baza opt în baza doi este suficient să transformăm individual fiecare cifră și să adăugăm eventual zerouri în față dacă numărul din baza doi nu are trei cifre.
Așadar, pentru cei cu patru degete ar fi mult mai ușor să se "înțeleagă" cu calculatoarele. Aritmetica lor ar fi mult mai apropiată de cea a calculatoarelor. Noi nu vedem o prea mare legătură între 65 și 1000001, dar ei trebuie să observe legătura dintre 101 și 1000001 care este mult mai ușor de observat.
În viitor
Poate ar fi interesant să vedem ce s-ar întâmpla dacă civilizația oamenilor cu cinci degete s-ar întâlni cu cea a celor cu patru degete. Ne-ar trebui un mecanism prin care să "traducem" numerele...
De asemenea, ar fi interesant să vedem cum ar arăta aritmetica celor cu opt degete la fiecare mână...
